均線穿越策略是一個常見的技術指標策略，使用者會利用長短兩條均線決定進出場的時機。 那在怎樣的情況下均線穿越策略會帶給我們好的策略報酬。
直覺上來說，均線策略是想要捕捉短期價格大幅上升的時機點，而均線策略要有作用，應該是價格上升可以持續的情況下才有作用，那怎麼嚴格的使用數學來描述這件事?
筆者參考一些網路資源，找到一些關於均線策略的數學分析。 下面需要一些金融數學的相關知識。
首先第一步，讓我們先把產生信號的過程寫成數學式
$$B_t = (\frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} P_{t-j}) – (\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} P_{t-j}) \ \ n > m$$
這邊第一項是計算m-長度均線的值，第二項式計算n-長度均線的值，n>m，所以代表第二項是長均線，第一項是短均線。
當短均線穿越長均線時也就是
$$B_t \geq 0 \ \ and \ \ B_{t-1} <0 $$
時做多，反之則做空。
為了簡化分析，我們讓m=1，且我們用幾何平均數代替算數平均數，這邊之所以這樣替代，是因為後面我們可以用對數報酬來表達式子。
這樣代表
$$ B_t \geq 0 \ \ iff \ \ P_t \geq (\prod_{j=0}^{n-1} P_{t-j})^{\frac{1}{n}} $$
如果兩邊取對數(單調轉換所以不等式不變)
$$R_t \geq – \sum_{j=1}^{n-2} \frac{n-(j+1)}{n-1} R_{t-j}$$
這邊的$R_t$代表對數報酬率。
當我們有了交易信號產生的數學式子後(用對數報酬來表示)， 我們可以想辦法把我們把一開始的金融直覺寫成數學條件，我們想要假設，價格上升的趨勢有一定的持續性，更進一步的說，如果現在市場有一個好消息的話，我們假設這對報酬率的上升有一定的持續性。
更嚴謹的寫下，我們可以假設
$$ R_t = Z_t \epsilon_t – (1-Z_t) \delta_t$$
這邊 $\epsilon_t$ 以及 $\delta_t$ 分別代表正面消息以及負面消息的衝擊。 兩個都用gamma過程來描述，因為gamma過程有不對稱以及厚尾兩個特性。
而正負面消息的持續性則用馬可夫過程$Z_t$來描述，也就是在時刻$t$的時候，如果是在負面狀態，則有 $q$機率會持續負面狀態，而如果是正面狀態的話，則有$p$機率是持續正面狀態。
則我們可以分析執行均線策略，並剛好持有$T$期的報酬率為何
$$RR_T = \sum_{t=1}^T R_t \times I_{\{B_{t-1} \geq 0\}}$$
因為剛好持有$T$期，所以$1~T-1$期的$B_t \geq 0$，且$B_T \leq 0$。
在這種情況下，我們可以推出$RR_T$的分布，其推倒過程並不複雜，可以參考前面網路資源的連結。
則我們同時可以計算出$RR_t$的期望值
$$ E[RR_T] = \frac{1}{1-p} ( \Pi p \mu_{\epsilon} – (1-p) \mu_{\delta})$$
這邊$\Pi$是馬可夫過程的長期均衡機率，也就是$Z_t=2$ (發生正面衝擊的機率)$\mu_{\epsilon}$代表正面衝擊的平均數，$\mu_{\delta}$代表負面衝擊的平均數，
這個式子是代表，如果均線策略要有作用(在這些假設下)，
$$ \mu_{\epsilon} \geq \frac{(1-p)}{\Pi p} \mu_{\delta}$$
如果正面衝擊的平均數跟負面衝擊的平均數差不多的話($\mu_{\epsilon} = \mu_{\delta}$)，則只要發生正面衝擊的持續機率比轉負面機率高，則均線策略會有正的報酬率。
在看完關於均線策略的數學分析後，讓我們試試看均線策略在台灣ETF的表現吧，這邊我們用20日均線當作短均線，20周線當作長均線。對0050的日資料進行回測，用回測框架可以繪製出下列的交易信號圖。
其報酬率的變化可以參考youtube影片。